Начало современной математикиСтраница 1
Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 логарифмов Дж. Непером. К концу 17 в. окончательно сложилось понимание логарифмов как показателей степени с любым положительным числом, отличным от единицы, в качестве основания. С начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа. Б. Паскаль (1623-1662) и И. Барроу (1630-1677), учитель И. Ньютона в Кембриджском университете, утверждали, что такое число, как 
, можно трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы Р. Декарт (1596-1650) и Дж. Валлис (1616-1703) считали, что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В 16 в. продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как 
, названные Декартом "мнимыми". Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л. Эйлер (1707-1783) с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.
Достижения в алгебре. В 16 в. итальянские математики Н. Тарталья (1499-1577), С. Даль Ферро (1465-1526), Л. Феррари (1522-1565) и Д. Кардано (1501-1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было введено множество символов, в том числе +, -, ´, 
, =, > и <. Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф. Виетом (1540-1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Затем математики обратились к уравнениям, степени которых выше четвертой. Работая над этой проблемой, Кардано, Декарт и И. Ньютон (1643-1727) опубликовали (без доказательств) ряд результатов, касающихся числа и вида корней уравнения. Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом [b2 - 4ac] квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант b2 - 4ac равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799 К. Фридрих Гаусс (1777-1855) доказал т. н. основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени имеет ровно n корней.
Основная задача алгебры - поиск общего решения алгебраических уравнений - продолжала занимать математиков и в начале 19 в. Когда говорят об общем решении уравнения второй степени ax2 + bx + c = 0, имеют в виду, что каждый из двух его корней может быть выражен с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней, производимых над коэффициентами a, b и с. Молодой норвежский математик Н. Абель (1802-1829) доказал, что невозможно получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного числа алгебраических операций. Однако существует много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих такое решение. Накануне своей гибели на дуэли юный французский математик Э. Галуа (1811-1832) дал решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения разрешимы в радикалах, т.е. корни каких уравнений можно выразить через их коэффициенты в помощью конечного числа алгебраических операций. В теории Галуа использовались подстановки или перестановки корней и было введено понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях математики.
Развитие теории групп служит хорошим примером преемственности творческой работы в математике. Галуа построил свою теорию, опираясь на работу Абеля, Абель опирался на работу Ж. Лагранжа (1736-1813). В свою очередь многие выдающиеся математики, в том числе Гаусс и А. Лежандр (1752-1833) в своих работах неявно использовали понятие группы. Ньютон не был чрезмерно скромен, когда заявил: "Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов".
Аналитическая геометрия. Аналитическая, или координатная, геометрия была создана независимо П. Ферма (1601-1665) и Р. Декартом для того, чтобы расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное открытие - осознание всей мощи алгебраических методов - принадлежит Декарту. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение - отрезок, имевший соответствующую длину. Собственно аналитическая геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество возможных длин.
Российская этнополитика XVIII—XIX в. - последствия вестернизации
«Мирное сосуществование» имперского и национально-государственного компонентов российской государственной парадигмы становится все более проблематичным начиная с петровских реформ, оказывающихся в данном контексте весьма противоречивым пр ...
Государственная деятельность М. А. Корфа
Оценки государственной деятельности М. А. Корфа весьма противоречивы.
И. В. Ружицкая считает его «человеком, осознающим необходимость перемен в стране, более того, активным участником ее переустройства. Это типичный представитель группы ...
Корея во второй половине 1880 — первой половине 1890 годов
Экономическое и политическое развитие Кореи после Тяньцзинского договора все более приобретало колониальный характер. Если в 1886 г. в Корею было ввезено иностранных товаров на 2474 тыс. долларов, то в 1891 г. на 5256 тыс. долларов. 55% в ...