Современная математикаСтраница 1
Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало "высшей математики". Методы математического анализа, в отличие от понятия предела, лежащего в его основе, выглядели ясными и понятными. Многие годы математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, тщетно пытались дать точное определение понятию предела. И все же, несмотря на многочисленные сомнения в обоснованности математического анализа, он находил все более широкое применение. Дифференциальное и интегральное исчисления стали краеугольными камнями математического анализа, который со временем включил в себя и такие предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, бесконечные ряды, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и многое другое. Строгое определение предела удалось получить лишь в 19 в.
Неевклидова геометрия. К 1800 математика покоилась на двух "китах" - на числовой системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной частью здания математики. Тем не менее аксиома о параллельных содержала утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность, которое не могло быть подтверждено опытом. Даже версия этой аксиомы, принадлежащая самому Евклиду, вовсе не утверждает, что какие-то прямые не пересекутся. В ней скорее формулируется условие, при котором они пересекутся в некоторой конечной точке. Столетиями математики пытались найти аксиоме о параллельных соответствующую подходящую замену. Но в каждом варианте непременно оказывался какой-нибудь пробел. Честь создания неевклидовой геометрии выпала Н.И. Лобачевскому (1792-1856) и Я. Бойяи (1802-1860), каждый из которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное изложение неевклидовой геометрии. В их геометриях через данную точку можно было провести бесконечно много параллельных прямых. В геометрии Б. Римана (1826-1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной.
О физических приложениях неевклидовой геометрии никто серьезно не помышлял. Создание А. Эйнштейном (1879-1955) общей теории относительности в 1915 пробудило научный мир к осознанию реальности неевклидовой геометрии.
Неевклидова геометрия стала наиболее впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в. Она ясно продемонстрировала, что математику нельзя более рассматривать как свод непререкаемых истин. В лучшем случае математика может гарантировать достоверность доказательства на основе недостоверных аксиом. Но зато математики впредь обрели свободу исследовать любые идеи, которые могли показаться им привлекательными. Каждый математик в отдельности был теперь волен вводить свои собственные новые понятия и устанавливать аксиомы по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу. Грандиозное расширение круга математических исследований в конце прошлого века по существу явилось следствием этой новой свободы.
Математическая строгость. Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым обеспечивая своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Неевклидова геометрия и кватернионы (алгебра, в которой не выполняется свойство коммутативности) заставили математиков осознать, что то, что они принимали за абстрактные и логически непротиворечивые утверждения, в действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом базисе.
Формирование и развитие внешнеполитических отношений: Роль князя Игоря,
воеводы Олега в формировании внешнеполитических отношениях.
Согласно летописи, Рюрик умер в 879 году, оставив сына, которого звали Игорь. Поскольку Игорь, в то время был еще очень мал, власть принял воевода по имени Олег. Олег с воинами двинулся по великому пути из "варяг в греки": из Но ...
Боевая техника СССР. Артиллерия. 122-мм
пушка образца 1931/1937 годов
Первая мировая война показала, какой дорогой ценой Франции, Англии и России пришлось расплачиваться за пренебрежение к тяжелой артиллерии. Рассчитывая на маневренную войну, эти страны сделали ставку на легкую высокоподвижную артиллерию, с ...
Распад Тимуридской империи.
Тамерлан оставил после себя большой родовой клан. Буквально на следующий день после его смерти начались ссоры, силовое давление и дворцовые перевороты.
Внук Тимура, при поддержке армии в Ташкенте, двинулся на Самарканд и занял там имперс ...