Современная математикаСтраница 3
Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики 20 в. Однако вскоре стало ясно, что этому методу присущи определенные ограничения. В 1880-х Кантор попытался систематически классифицировать бесконечные множества (например, множество всех рациональных чисел, множество действительных чисел и т.д.) путем их сравнительной количественной оценки, приписывая им т. н. трансфинитные числа. При этом он обнаружил в теории множеств противоречия. Таким образом, к началу 20 в. математикам пришлось иметь дело с проблемой их разрешения, а также с другими проблемами оснований их науки, такими, как неявное использование т. н. аксиомы выбора. И все же ничто не могло сравниться с разрушительным воздействием теоремы неполноты К. Гёделя (1906-1978). Эта теорема утверждает, что любая непротиворечивая формальная система, достаточно богатая, чтобы содержать теорию чисел, обязательно содержит неразрешимое предложение, т.е. утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ее рамках. Теперь общепризнано, что абсолютного доказательства в математике не существует. Относительно того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство математиков склонно полагать, что проблемы оснований математики являются философскими. И действительно, ни одна теорема не изменилась вследствие вновь найденных логически строгих структур; это показывает, что в основе математики лежит не логика, а здравая интуиция.
Развитие товарно-денежных отношений
Развитие товарного производства в городе и деревне обусловило начиная с XIII в. значительное, по сравнению с предшествующим периодом, расширение торговли и рыночных связей. Как ни медленно шло развитие товарно-денежных отношений в деревне ...
Выводы. Обобщенная характеристика политических идей Джавахарлала Неру
Частичное несовпадение развития исторических и политических взглядов Неру обусловило неверную, но господствующую в отечественной и зарубежной историографии точку зрения о противоречивости его мировоззрения в целом. Неру сформулировал мора ...
Манифест 17 октября
В 1905 году Россия представляла собой узел противоречий. Поражение России в русско-японской войне (26 января 1904 г. - август 1905 г.) обнажило ее технико-экономическую отсталость по сравнению с передовыми странами. В условиях растущего п ...