Современная математикаСтраница 3
Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики 20 в. Однако вскоре стало ясно, что этому методу присущи определенные ограничения. В 1880-х Кантор попытался систематически классифицировать бесконечные множества (например, множество всех рациональных чисел, множество действительных чисел и т.д.) путем их сравнительной количественной оценки, приписывая им т. н. трансфинитные числа. При этом он обнаружил в теории множеств противоречия. Таким образом, к началу 20 в. математикам пришлось иметь дело с проблемой их разрешения, а также с другими проблемами оснований их науки, такими, как неявное использование т. н. аксиомы выбора. И все же ничто не могло сравниться с разрушительным воздействием теоремы неполноты К. Гёделя (1906-1978). Эта теорема утверждает, что любая непротиворечивая формальная система, достаточно богатая, чтобы содержать теорию чисел, обязательно содержит неразрешимое предложение, т.е. утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ее рамках. Теперь общепризнано, что абсолютного доказательства в математике не существует. Относительно того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство математиков склонно полагать, что проблемы оснований математики являются философскими. И действительно, ни одна теорема не изменилась вследствие вновь найденных логически строгих структур; это показывает, что в основе математики лежит не логика, а здравая интуиция.
Отто фон Бисмарк и его
роль в германской истории. Объединение Германии как необходимое условие ее
экономического и политического развития. Политика Бисмарка и
становление системы Бисмарка
С 1871 г. вплоть до отставки (17 марта 1890 г.) фактическим правителем Германской империи был канцлер князь Отто фон Бисмарк.[25]
Канцлер понимал, что Германия при всей своей силе окружена страшными опасностями извне, что для нее проигры ...
Особенности городов
Форсированная индустриализация СССР поневоле опиралась на крупные города. При острой нехватке ресурсов только здесь можно было создать необходимую плотность и структурную полноту кадров, культурных и трудовых ресурсов. «Одноэтажный» СССР ...
Экономическое и политическое положение Польши в 1926-1935
гг
На момент начала режима санации Польша являлась аграрной страной. В сельском хозяйстве было занято около 65 % населения, в промышленности – только 9 %; 7 % занималось ремесленным производством, 6 % работало в торговле и на транспорте. Из ...