Современная математикаСтраница 3
Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики 20 в. Однако вскоре стало ясно, что этому методу присущи определенные ограничения. В 1880-х Кантор попытался систематически классифицировать бесконечные множества (например, множество всех рациональных чисел, множество действительных чисел и т.д.) путем их сравнительной количественной оценки, приписывая им т. н. трансфинитные числа. При этом он обнаружил в теории множеств противоречия. Таким образом, к началу 20 в. математикам пришлось иметь дело с проблемой их разрешения, а также с другими проблемами оснований их науки, такими, как неявное использование т. н. аксиомы выбора. И все же ничто не могло сравниться с разрушительным воздействием теоремы неполноты К. Гёделя (1906-1978). Эта теорема утверждает, что любая непротиворечивая формальная система, достаточно богатая, чтобы содержать теорию чисел, обязательно содержит неразрешимое предложение, т.е. утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ее рамках. Теперь общепризнано, что абсолютного доказательства в математике не существует. Относительно того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство математиков склонно полагать, что проблемы оснований математики являются философскими. И действительно, ни одна теорема не изменилась вследствие вновь найденных логически строгих структур; это показывает, что в основе математики лежит не логика, а здравая интуиция.
Экономическое развитие в условиях ига
Однако иго не привело к абсолютной экономической стагнации русских земель. Уже в конце XIII и в ещё большей степени в XIV в. на Руси началось постепенное хозяйственное возрождение. В сельском хозяйстве происходил переход к двух - и трехпо ...
Историческое значение победы над немецко-фашистскими захватчиками.
Великая Отечественная война закончилась полной победой народов СССР над фашизмом, которая по своему значению и последствиям является важнейшим событием мировой истории. В кровопролитной и разрушительной войне Советский Союз защитил свою с ...
Приход Карла Великого к власти.
Пипин "умер 24 сентября 768 года в племени парисиев [apud Parisios] (то есть в Париже) от водянки, после того как закончилась девятилетняя (760-768) аквитанская война, что велась против начавшего её герцога Вайфария, оставив детей Ка ...