Современная математикаСтраница 3
Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики 20 в. Однако вскоре стало ясно, что этому методу присущи определенные ограничения. В 1880-х Кантор попытался систематически классифицировать бесконечные множества (например, множество всех рациональных чисел, множество действительных чисел и т.д.) путем их сравнительной количественной оценки, приписывая им т. н. трансфинитные числа. При этом он обнаружил в теории множеств противоречия. Таким образом, к началу 20 в. математикам пришлось иметь дело с проблемой их разрешения, а также с другими проблемами оснований их науки, такими, как неявное использование т. н. аксиомы выбора. И все же ничто не могло сравниться с разрушительным воздействием теоремы неполноты К. Гёделя (1906-1978). Эта теорема утверждает, что любая непротиворечивая формальная система, достаточно богатая, чтобы содержать теорию чисел, обязательно содержит неразрешимое предложение, т.е. утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ее рамках. Теперь общепризнано, что абсолютного доказательства в математике не существует. Относительно того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство математиков склонно полагать, что проблемы оснований математики являются философскими. И действительно, ни одна теорема не изменилась вследствие вновь найденных логически строгих структур; это показывает, что в основе математики лежит не логика, а здравая интуиция.
Министр иностранных дел
С первых же дней в своей новой должности Горчаков начал активную деятельность: он значительно обновил состав министерства, провёл радикальные структурные и кадровые преобразования. Россия значительно ослабла после Крымской войны, сдала св ...
Предпосылки объединения
Германии в XIX в. Конституционный кризис в Пруссии. Приход к власти Бисмарка
В 50-х и 60-х годах XIX-го века экономика германских государств заметно продвинулась по капиталистическому пути. Особенно быстро промышленный переворот происходил в Баварии, Тюрингии, на западе Пруссии и в северо-западных королевствах и г ...
Оборонительные бои советской армии
Летом и осенью 1941 г. ожесточенные бои продолжались. С 10 июля 1941 г. начинается знаменитая Ленинградская битва, закончившаяся лишь 9 августа 1944 г. полным разгромом фашистских войск. Эта битва оказала значительное влияние на ход боевы ...