Современная математикаСтраница 3
Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики 20 в. Однако вскоре стало ясно, что этому методу присущи определенные ограничения. В 1880-х Кантор попытался систематически классифицировать бесконечные множества (например, множество всех рациональных чисел, множество действительных чисел и т.д.) путем их сравнительной количественной оценки, приписывая им т. н. трансфинитные числа. При этом он обнаружил в теории множеств противоречия. Таким образом, к началу 20 в. математикам пришлось иметь дело с проблемой их разрешения, а также с другими проблемами оснований их науки, такими, как неявное использование т. н. аксиомы выбора. И все же ничто не могло сравниться с разрушительным воздействием теоремы неполноты К. Гёделя (1906-1978). Эта теорема утверждает, что любая непротиворечивая формальная система, достаточно богатая, чтобы содержать теорию чисел, обязательно содержит неразрешимое предложение, т.е. утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ее рамках. Теперь общепризнано, что абсолютного доказательства в математике не существует. Относительно того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство математиков склонно полагать, что проблемы оснований математики являются философскими. И действительно, ни одна теорема не изменилась вследствие вновь найденных логически строгих структур; это показывает, что в основе математики лежит не логика, а здравая интуиция.
Градообразующие предприятия в эпоху Средневековья
Ремесленное производство, составлявшее основу городского производства, имело особую форму организации на первых этапах развитого феодализма - цехи, или ремесленные гильдии. В Византии ремесленные объединения - корпорации или кинонии - сущ ...
Мамаев курган
Тишина на Мамаевом…
Строго и свято.
Жизнь отсюда до дна,
До кровинки видна:
У нее на посту -
Сталинграда солдаты,
Это память людская -
Бессмертна она.
Не счесть на земле нашей курганов и высот, хранящих славные подвиги защитников ...
Поход Тимура на Индию.
Тамерлан возобновил свои успешные кампании грабежа на одной из самых богатых частей света. Но в соответствии со сложившейся традицией он придал своим действиям религиозную окраску. Тюркский султанат Дели в основном был мусульманским, и мн ...