Современная математикаСтраница 2
Создание неевклидовой геометрии сопровождалось также осознанием существования в евклидовой геометрии логических пробелов. Одним из недостатков евклидовых Начал было использование допущений, не сформулированных в явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те свойства, которыми обладали его геометрические фигуры, но эти свойства не были включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая подобие двух треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур не изменяются. Но кроме таких логических пробелов, в Началах оказалось и несколько ошибочных доказательств.
Создание новых алгебр, начавшееся с квартернионов, породило аналогичные сомнения и в отношении логической обоснованности арифметики и алгебры обычной числовой системы. Все ранее известные математикам числа обладали свойством коммутативности, т.е. ab = ba. Кватернионы, совершившие переворот в традиционных представлениях о числах, были открыты в 1843 У. Гамильтоном (1805-1865). Они оказались полезными для решения целого ряда физических и геометрических проблем, хотя для кватернионов не выполнялось свойство коммутативности. Квартернионы вынудили математиков осознать, что если не считать посвященной целым числам и далекой от совершенства части евклидовых Начал, арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы. Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и производили алгебраические операции, руководствуясь лишь тем, что они успешно работают. Логическая строгость уступила место демонстрации практической пользы введения сомнительных понятий и процедур.
Почти с самого зарождения математического анализа неоднократно предпринимались попытки подвести под него строгие основания. Математический анализ ввел два новых сложных понятия - производная и определенный интеграл. Над этими понятиями бились Ньютон и Лейбниц, а также математики последующих поколений, превратившие дифференциальное и интегральное исчисления в математический анализ. Однако, несмотря на все усилия, в понятиях предела, непрерывности и дифференцируемости оставалось много неясного. Кроме того, выяснилось, что свойства алгебраических функций нельзя перенести на все другие функции. Почти все математики 18 в. и начала 19 в. предпринимали усилия, чтобы найти строгую основу для математического анализа, и все они потерпели неудачу. Наконец, в 1821, О. Коши (1789-1857), используя понятие числа, подвел строгую базу под весь математический анализ. Однако позднее математики обнаружили у Коши логические пробелы. Желаемая строгость была наконец достигнута в 1859 К. Вейерштрассом (1815-1897).
Вейерштрасс вначале считал свойства действительных и комплексных чисел самоочевидными. Позднее он, как и Г. Кантор (1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916), осознал необходимость построения теории иррациональных чисел. Они дали корректное определение иррациональных чисел и установили их свойства, однако свойства рациональных чисел по-прежнему считали самоочевидными. Наконец, логическая структура теории действительных и комплексных чисел приобрела свой законченный вид в работах Дедекинда и Дж. Пеано (1858-1932). Создание оснований числовой системы позволило также решить проблемы обоснования алгебры.
Задача усиления строгости формулировок евклидовой геометрии была сравнительно простой и сводилась к перечислению определяемых терминов, уточнению определений, введению недостающих аксиом и восполнению пробелов в доказательствах. Эту задачу выполнил в 1899 Д. Гильберт (1862-1943). Почти в то же время были заложены и основы других геометрий. Гильберт сформулировал концепцию формальной аксиоматики. Одна из особенностей предложенного им подхода - трактовка неопределяемых терминов: под ними можно подразумевать любые объекты, удовлетворяющие аксиомам. Следствием этой особенности явилась возрастающая абстрактность современной математики. Евклидова и неевклидова геометрии описывают физическое пространство. Но в топологии, являющейся обобщением геометрии, неопределяемый термин "точка" может быть свободен от геометрических ассоциаций. Для тополога точкой может быть функция или последовательность чисел, равно как и что-нибудь другое. Абстрактное пространство представляет собой множество таких "точек"
Лодки мчатся, опираясь на воздух
Первая публикация об экранопланах появилась в "ТМ" № 8 за 1972 год. Это было интервью с американцем Александром Липпишем - создателем лодок, скользящих по воздуху над водой. Как о диковинке узнал советский читатель об одноместно ...
Социальное устройство в Сибири в конце XIX начале
ХХ вв.
На территории нашей области к концу 19 века было два города: Каинск и Колывань. В Каинске населения насчитывалось, по данным на 1899 год, приблизительно 6 тысяч человек. В городе было 2 большие ярмарки: Петропавловская - 29 июня и Михайло ...
Греческая классика. Греческая
культура в V веке.
Как и в других областях жизни, в культуре V в. до н.э. наблюдается сочетание традиционных черт, восходящих к архаической и еще более ранним эпохам, и совершенно иных, порожденных новыми явлениями в социально-экономической и политических с ...